Andrzej Purczyński

 
Zadanie

Dla podanych danych xi i yi znaleźć funkcje najmniejszych kwadratów odchyleń dla prostych w układach liniowym, półlogarytmicznym oraz logarytmicznym. Obliczyć współczynniki korelacji danych w tych układach. Przedstawić funkcje i dane na wspólnym wykresie w układzie liniowym.

Wzory:

Oznaczenia:
xi, yi - dane wartości zmiennej niezależnej x i zmiennej zależnej y;
i - zmienna opisana na podzbiorze liczb naturalnych od 1 do n;
n - liczba danych;
a - współczynnik przesunięcia prostej;
b - współczynnik kierunkowy prostej;
sx - odchylenie standardowe wartości zmiennej niezależnej;
sy - odchylenie standardowe wartoiści zmiennej zależnej.

Tabele obliczeń i wyników

Dane i obliczenia sum - elementów wzorów
zależności liniowej
ixiyixi2yi2xiyi
11,2 12,4 1,44 153,76 14,88
21,5 7,2 2,25 51,84 10,80
32,2 3,6 4,84 12,96 7,92
42,5 3,0 6,25 9,00 7,50
53,2 2,5 10,24 6,25 8,00
63,5 1,8 12,25 3,24 6,30
74,2 1,4 17,64 1,96 5,88
84,5 1,0 20,25 1,00 4,50
95,2 0,8 27,04 0,64 4,16
105,5 0,2 30,25 0,04 1,10
Sumy:33,5 33,9 132,45 240,69 71,04

Wartość średnia arytmetyczna xśr = 3,35
Wartość średnia arytmetyczna yśr = 3,39
Odchylenie standardowe dla x przy n=10 stopniach swobody sx = 1,42
Odchylenie standardowe dla y przy n=10 stopniach swobody sy = 3,55
Współczynnik korelacji r = -0,84
Współczynniki prostej regresji: a = 10,43; b = -2,1
Równanie prostej regresji: y = 10,43 - 2,1 x
Dane i obliczenia sum - elementów wzorów
zależności liniowej w układzie półlogarytmicznym
ixilog(yi)xi2log2(yi)xilog(yi)
11,2 1,09 1,44 1,1956 1,3121
21,5 0,86 2,25 0,7350 1,2860
32,2 0,56 4,84 0,3095 1,2239
42,5 0,48 6,25 0,2276 1,1928
53,2 0,40 10,24 0,1584 1,2734
63,5 0,26 12,25 0,0652 0,8935
74,2 0,15 17,64 0,0214 0,6137
84,5 0,00 20,25 0,0000 0,0000
95,2 -0,10 27,04 0,0094 -0,5039
105,5 -0,70 30,25 0,4886 -3,8443
Suma:33,5 2,99 132,45 3,2105 3,4471

Wartość średnia arytmetyczna xśr = 3,35
Wartość średnia arytmetyczna yśr = 0,30
Odchylenie standardowe dla x przy n=10 stopniach swobody sx = 1,42
Odchylenie standardowe dla y przy n=10 stopniach swobody sy = 0,48
Współczynnik korelacji r = -0,96
Współczynniki prostej regresji: log(a) = 1,39; a = 24,3; log(b) = -0,32; b = 0,47
Równanie prostej regresji: log(y) = 1,39 -0,32 x
Funkcja aproksymująca dane: y = 24,3 · 0,47x
Dane i obliczenia sum - elementów wzorów
zależności liniowej w układzie logarytmicznym
ilog(xi)log(yi)log2(xi)log2(yi)log(xi)·log(yi)
10,08 1,09 0,01 1,1956 0,0866
20,18 0,86 0,03 0,7350 0,1510
30,34 0,56 0,12 0,3095 0,1905
40,40 0,48 0,16 0,2276 0,1899
50,51 0,40 0,26 0,1584 0,2010
60,54 0,26 0,30 0,0652 0,1389
70,62 0,15 0,39 0,0214 0,0911
80,65 0,00 0,43 0,0000 0,0000
90,72 -0,10 0,51 0,0094 -0,0694
100,74-0,70 0,55 0,4886 -0,5175
Suma:4,782,992,74 3,21 0,46

Wartość średnia arytmetyczna xśr = 0,48
Wartość średnia arytmetyczna yśr = 0,30
Odchylenie standardowe dla x przy n=10 stopniach swobody sx = 0,21
Odchylenie standardowe dla y przy n=10 stopniach swobody sy = 0,48
Współczynnik korelacji r = -0,94
Współczynniki prostej regresji: log(a) = 1,31; a = 20,29; b = -2,11
Równanie prostej regresji: log(y) = 1,31 -2,11 log(x)
Funkcja aproksymująca dane: y = 20,29 ·x-2,11
Tabelka z danymi xi i yi oraz wynikami obliczeń funkcji aproksymujących y
xiyiy=a·bxiy=a·xiby=a+b·xi
1,2 12,4 9,9 13,8 7,91
1,5 7,2 7,9 8,6 7,28
2,2 3,6 4,7 3,8 5,81
2,5 3,0 3,8 2,9 5,18
3,2 2,5 2,2 1,7 3,71
3,5 1,8 1,8 1,4 3,07
4,2 1,4 1,1 1,0 1,60
4,5 1,0 0,8 0,8 0,97
5,2 0,8 0,5 0,6 -0,50
5,5 0,2 0,4 0,6 -1,13

Graficzne opracowanie wyników


Wykresy funkcji wyznaczonych na podstawie danych doświadczalmych
Wnioski i spostrzeżenia

Z wykresów widać, że funkcja y = 20,29 x-2,11 najlepiej przybliża położenie danych. Współczynnik korelacji dla tej funkcji w układzie logarytmicznym r = -0,94 jest niewiele mniejszy od współczynnika korelacji funkcji w układzie półlogarytmicznym r = -0,96. Należy jednak pamiętać, że obydwa te współczynniki dotyczą danych przekształconych (zlogarytmowanych), a nie danych uzyskanych bezpośrednio z doświadczenia.
Najgorzej wypada wykorzystanie zwykłego równania prostej do opisu przedstawionych danych.