| START | HISTORIA LICZYDŁA | ZLICZANIE JEDYNEK | LICZENIE NA LICZYDLE  | PIERWIASTEK KWADRATOWY |

www..pl







"Pierwszakom i Starszakom"
Purand





                1. Okres starożytny
                2. Średniowiecze
                3. Czasy nowożytne
                4. Współczesność
                5. Bibliografia



1. OKRES STAROŻYTNY

Starożytność to epoka ok. XXX w. p.n.e. do V w. n.e. Datą przełomową jest tutaj rok 476 - upadek cesarstwa zachodnio-rzymskiego, kiedy to wódz germański Odoaker obalił ostatniego cesarza rzymskiego Romulusa Augustusa.

Umiejętność liczenia cały czas towarzyszy rozwojowi wiedzy i poznawaniu otaczającego nas świata. Ludzie rozpoczynając prawdopodobnie od prymitywnych form zliczania w systemie jedynkowym [1] dokonali ogromnego rozwoju matematyki i narzędzi wspomagających obliczenia.

Ich początki giną w mrokach zamierzchłej przeszłości. Sięgają czasów Sumerów (3000-2300 r.p.n.e.) i Babilończyków (2000-1600 r.p.n.e.). Od nich odziedziczyliśmy system sześćdziesiątkowy używany do dzisiaj w określaniu czasu (1 min. = 60 sek., 1 godz.= 60 min.) i mierze kątowej w stopniach (kąt pełny = 6 x 60°). Na glinianych tabliczkach odkrywamy zapisy wskazujące, że znali i wykorzystywali oni już wtedy twierdzenie Pitagorsa [2] oraz z dużą dokładnością wyznaczali √2.

W obliczeniach posługiwali się narzędziami, które doskonalone były przez wieki. Najprostszą formą takiego narzędzia są linie narysowane na piasku i kamyki układane tak, aby można było przedstawić liczebność lub miarę. Warsztat rachmistrza mógł być na stałe wyposażony w odpowiednio przygotowaną i opisaną płytę z marmuru jak np. ta, którą znaleziono w roku 1846 na greckiej wyspie Salaminie. Jest ona datowana na ok. III w. p.n.e. Z wykopalisk archeologicznych wiemy, że wytwarzano także mnieisze przenośne tabliczki gliniane lub odlane z brązu z rowkami na kulki lub kamyki (tzw. calculi). Takie "tablety" były lżejsze i można je było łatwo wykorzystać podczas ściągania podatków, lub zabrać na wyprawę kupiecką.

Liczydła nazywano abakusami od greckiego abaks (gr. αβαξ).

Pierwszą wzmiankę o abakusie znajdujemy w Dziejach Herodota (480 - 425 r. p.n.e.), który podaje różnice w posługiwaniu się nim między Egipcjanami i Grekami. Rzymianie, choć sami nie wnieśli w rozwój nauki tyle co Babilończycy, Egipcjanie, Hindusi czy Grecy, to jednak potrafili doskonale wykorzystać dorobek innych.

Rysunek przedstawia rekonstrukcję rzymskiego abaku wykonywanego z brązu. Pionowe rowki z kulkami mają przypisane wzrastające wartości od jednostek I (as), poprzez dziesiątki X, setki C tysiące ∞ (CD), dziesiątki tysięcy CCDD, setki tysięcy CCCDDD i miliony IxI. Każdy rząd jest podzielony na dwie części. W górnej jedna kulka ma wartość wyznaczaną jako wielokrotność pięciu (V, L, D, DD, DDD, itd). W dolnej części są cztery kulki każda o wartości danego rzędu.

Na prawo od jednostek znajdują się rowki z kulkami oznaczającymi ułamki. Podział jedności (as) dokonuje się na dwanaście części (uncji) Θ stąd górna kulka ma wartość sześć, a w dolnej części znajduje się tutaj pięć kulek. Dalej znajdują się połówki uncji S (semis), ćwiartki (uncji) i dwunaste części uncji oznaczone na abaku symbolem 2.

Posługiwanie się rzymskim systemem zapisu i obliczeń było dość trudne. Jednak przyzwyczajenie i duże zyski czerpane przez rachmistrzów wywoływały ogromny sprzeciw zatrudnionych w tym zawodzie wobec nowinek płynących ze świata arabskiego. To sprawiło, że Europa musiała długo czekać na wprowadzenie pozycyjnego systemu dziesiętnego oraz na upowszechnienie zapisu liczb za pomocą dziesięciu cyfr odkrytych w dalekich Indiach. Rzymskie cyfry spotykamy jeszcze dzisiaj na tarczach zegarów, lub przy oznaczaniu numerów miesięcy oraz wieków, np. XXI w.








2. ŚREDNIOWIECZE

Średniowiecze, to epoka historyczna rozciągająca się w czasie od V w. n.e. do schyłku XV w. n.e. Datami przełomowymi są tu rok 1453 - zdobycie Konstantynopola przez Turków, rok 1492 - odkrycie Ameryki przez Kolumba i rok 1517 - początek reformacji.

W tym okresie kontynuatorami dorobku naukowego Babilończyków, Egipcjan i Greków byli Arabowie. Ich kupcy docierali do Indii i Chin. Stamtąd czerpali także idee, które potrafili adoptować i rozwijać.

Młody mnich o imieniu Gerbert, późniejszy papież Sylwester II (999-1003), dzięki kontaktom z Arabami kalifatu kordobańskiego (Andaluzja) swoją wiedzą tak bardzo przewyższał poziom wykształconych ludzi ze swego otoczenia, że podejrzewano go o czary. Był on biegły w naukach tzw. quadrivium (arytmetyki, geometrii, muzyki i astronomii). Na posadzce nawy katedry w Reims zbudował ogromny abak - liczydło w którym zamiast kamieni lub kulek używane były krążki (tzw. apeksy) z zaznaczonymi cyframi. Rysunek przedstawia fragment pokazujący zasadę zapisu liczb na takim liczydle. Cały abak miał 27 kolumn podzielonych na trójki i przeznaczonych do działań na liczbach całkowitych oraz trzy kolumny dodatkowo dla ułamków.

Zapis cyfr w tamtym okresie przechodził wiele zmian. Użyte na szkicu abaku pochodzą z rękopisu hiszpańskiego z roku 926, który zawiera m. in. dziewięć cyfr indoarabskich. Nie ma tu jeszcze wymienionego zera, które Hindusi znali przynajmniej od 876 r. n.e. [7]. Zresztą jak widać do zapisu liczby na abaku wystarcza, gdy zamiast apeksu z cyfrą zero, pozostawione jest tylko wolne miejsce.

Gerbert oprócz abaku skonstruował pierwszy zegar wahadłowy i organy, sam budował przyrządy astronomiczne i odlewał części z metali. Od niego pochodzi podział na nauki praktyczne i teoretyczne. Jako papież, wraz z Ottonem III, próbował stworzyć wspólnotę europejską opartą na czterech filarach: Germanii, Galii, Italii i Sclavii (Bolesława Chrobrego). Ich wielkie plany przekreśliła przedwczesna śmierć cesarza. Rok póżniej umiera także papież.

Propagowanie cyfr indoarabskich natrafiało w chrześcijańskiej Europie na duży opór, podsycany przez ludzi liczących w systemie rzymskim zapisu liczb. Łatwiejszy system pozbawiał ich dobrze płatnej pracy.

Drzeworyt z Philosophica Gregoriusa Reisha, Fryburg 1503

W początkowym okresie cyfry indoarabskie służyły do zapisu wyników obliczeń wykonywanych na abaku. Papier był wciąż drogim artykułem i dopiero powszechny dostęp do artykułów piśmienniczych pozwolił w pełni wykorzystać zapis pozycyjny w obliczeniach, a kartka papieru i ołówek albo pióro zastąpiła tabliczki z koralikami.

Na rysunku obok drzeworyt z pracy Gregoriusa Reisha pt. La Margarita Philosophica, wydanej we Fryburgu w roku 1503. Po prawej widać abacystę przy abaku, po lewej algorystę posługującego się rachunkiem cyfrowym. Kobieta stojąca w środku symbolizuje arytmetykę i zdaje się łączyć biegłość liczenia na abaku z "nowym" zapisem cyfrowym. Rycinę zaczerpnięto z pozycji [4].

Korzystanie z abaku było na tyle wygodne, że uczono posługiwania się nim jeszcze w XVIII w., a nawet później. Ponieważ brytyjscy urzędnicy finansowi długo obliczali podatki za pomocą tabliczki, którą nazywano exchequer (tj. szachownica) więc do dzisiaj minister finansów nazywa się tam kanclerzem szachownicy [4] (ang. Chancellor of the Exchequer).










3. CZASY NOWOŻYTNE

Czasy nowożytne to epoka historyczna od XV w. do XX w. Datami przełomowymi są początek i koniec I wojny światowej (1914-1918).

W pracy [6] omawiającej wkład polskiej myśli w rozwój matematyki przedstawione są dzieła wydane w Polsce zarówno w języku łacińskim jak i w języku polskim.

Pierwszą książką o arytmetyce wydaną w Polsce w roku 1513 w języku łacińskim była praca Jana z Łańcuta pt. Algorithmus linealis cum pulchris condicionibus duarum regularum Detri (Algorytm liniowy z pięknymi zastosowaniami reguły trzech), która doczekała się licznych wydań w latach następnych.

Na rycinie ze strony tytułowej Algorithmus linealis widać nauczyciela i ucznia zajmujących się obliczeniami. Nauczyciel wykonuje działania na abaku, a uczeń zapisuje wyniki za pomocą cyfr. Warto porównać ten obraz z ryciną następną z odwrotnej strony karty tytułowej książki Benedykta Herbesta i ryciną zamieszczoną w rozdziale wcześniejszym.

Drugą książką wydaną także w Polsce w języku łacińskim jest Arithmetica linearis z roku 1561 napisana przez Benedykta Herbesta.

Na rycinie z Arithmetica linearis widać trzy postacie. Dwie zajmują się obliczeniami na abaku i zapisem uzyskanych stąd wyników, trzecia osoba sama zajmuje się rachunkiem cyfrowym. Ta rycina przedstawia dwa podejścia do arytmetyki, które ścierały się w tamtych czasach. Autor pisze o tym wyraźnie "Arytmetyka dzieli się na teoretyczną i praktyczną, a ta ostatnia na liniową i cyfrową" [6].

Liczący na abaku przyglądają się z zainteresowaniem algoryście.

Autor nie rozstrzyga, który sposób obliczeń jest lepszy, choć rysunek jednoznacznie pokazuje, że rachunek cyfrowy absorbuje mniej ludzi.

W okresie Odrodzenia następuje umocnienie się polskiej świadomości narodowej co znajduje odbicie w pojawieniu się dzieł naukowych w języku polskim.

W języku polskim jednym z pierwszych dzieł była praca pt. Algoritmus, To jest nauka Liczby, Polską rzeczą wydana: przez Księdza Tomasza Kłosa. Na trzy części się dzieli, Pierwsza będzie o osobach Liczby, Wtora o Regule detri, Trzecia o rozmaitych rachunkach y o społkach kupieckich. Książka była wydana w roku 1538.

Tomasz Kłos przedstawia w swojej książce także rachunek na liniach, który miał jeszcze duże znaczenie praktyczne. Linie od dolnych oznaczają kolejno miejsca jednostek, dziesiątek, setek, tysięcy itd. Miejsca pomiędzy liniami odpowiadają połowie jednostki wyższego rzędu.

Na rysunku przedstawiono sposób zapisu liczb na liniach i przykład dodawania dwóch liczb.

Na tym abaku T. Kłos przedstawia działania arytmetyczne i rozwiązywanie zadań na regułę trzech (Reguła detri), która dla kupców miała szczególne znaczenie.

Wybitną postacią wśród matematyków XVII w. był Jan Brożek (Ioannes Broscius 1585-1652). W jednej ze swoich książek pt. Arithmetica integrorum (Arytmetyka liczb całkowitych) zawarł całokształt znanej w tym czasie arytmetyki. Książka ta była doskonałym podręcznikiem akademickim, pierwszym tego rodzaju w Polsce.

Odwołując się do najprostszego przyrządu do liczenia jakim są ludzkie dłonie, J. Brożek w ciekawy sposób przedstawia mnożenie liczb jednocyfrowych większych od 5 - za pomocą tzw. "odległości od 10".

Przykładowo (patrz fotografia), jeśli chcemy pomnożyć 7 x 8, na jednej dłoni prostujemy tyle palców ile wynosi różnica 10 - 7 = 3, na drugiej dłoni prostujemy tyle palców ile wynosi różnica 10 - 8 = 2. Następnie mnożymy liczby wyprostowanych palców jednej i drugiej dłoni otrzymując jednostki 3 x 2 = 6. Suma zagiętych palców obu dłoni 2 + 3 = 5 daje dziesiątki iloczynu czyli 5, razem otrzymujemy ostateczy wynik równy 56.

Mnożenie większych liczb wspomagały tablice kwadratów. Korzystano w tym przypadku z zależności:

Mnożenie sprowadzało się wtedy do dodawania i odejmowania dwóch liczb a i b oraz podzielenia sumy i różnicy na pół. Reszta obliczeń opierała się na różnicy dwóch liczb odczytanych z tablic kwadratów.








4. WSPÓŁCZESNOŚĆ

Współcześnie do obliczeń używa się komputerów, których epoka rozpoczęła się w połowie XX w. W międzyczasie ludzie wynaleźli i z powodzeniem wykorzystywali do obliczeń inne narzędzia. Suwak logarytmiczny skonstruowany w roku 1620 został wyparty przez współczesne kalkulatory (smartfony). Jednak nawet dzisiaj, w dobie superkomputerów o ogromnych mocach obliczeniowych, może nas zachwycić genialność rozwiązania jakim jest liczydło, jeśli tylko poznamy jego właściwości rachunkowe.

Przez wieki abak był ciągle udoskonalany i ulegał różnym zmianom. Niektóre przekształcenia doprowadziły do uzyskania lokalnych odrębnych form liczydła, np. w Chinach - suanpan, Rosji - (wym.: sczioty) i Japonii - soroban. Rosyjska forma liczydła i polskie liczydło szkolne mają wiele cech wspólnych. Są to tzw. liczydła słowiańskie (ang. Slavonic abacus).

Około roku 1820 wraz z żołnierzami Napoleona liczydło kupców Nowogrodu i Pskowa zawędrowało na Zachód. Choć pierwsze wzmianki o rosyjskim (ruskim) liczydle pochodzą z księgi inwentarzowej z roku 1658, to prawdopodobnie właśnie w bogatym Wielkim Nowogrodzie należy upatrywać kolebkę tej formy liczydła. Specyfiką systemu pieniężnego tego regionu, w odróżnieniu od innych systemów średniowiecznych był brak połówek podstawowej jednostki pieniężnej. Do rozmieniania na drobniejsze wartości były używane ćwiartki, tzw. czetwiertcy (ros. ), które nazywano połuszki (ros. ). Jedna kopiejka była równa czterem połuszkom, a jeden rubel równał się stu kopiejkom.

Interesujące wytłumaczenie powstania tak specyficznego systemu pieniężnego przedstawił P.G.Gajdukov [9]. Na przełomie wieków XIV i XV nastąpiło drastyczne obniżenie zawartości srebra w obiegowych monetach takich jak fenigi lubeckie lub inflandzkie artigi. Zawartość srebra spadła o połowę. Kupcy Wielkiego Nowogrodu i Pskowa mieli własne monety, takie jak wspomniane już połuszki, których wartość odpowiadała wtedy zawartości srebra w fenigach lubeckich z uwzględnieniem 50% spadku wartości na początku XV w. Tak więc połowa z połowy wprowadzała wartość równą jednej czwartej, a to - jak można przypuszczać - doprowadziło do umieszczenia na liczydle czterech dodatkowych koralików w celu ułatwienia przeliczeń kupieckich.

Dzisiaj te cztery koraliki, pełnią na liczydle rosyjskim rolę wyraźnego oddzielacza części całkowitej od części ułamkowej. W celu łatwiejszego posługiwania się tym liczydłem dwa środkowe koraliki w każdym rzędzie dziesiętnym są zaczernione. Niekiedy czarne są też pierwsze koraliki w rzędach tysięcznym a niekiedy i milionowym.

Formy chińska i japońska różnią się znacznie od liczydeł słowiańskich. Działania na japońskim liczydle sorobanie bardziej przypominają rachunki na liniach opisane w dziele Tomasza Kłosa z roku 1538. Występują tam koraliki o wartościach będących krotnościami liczby pięć. W ten sposób liczba koralików zostaje znacznie ograniczona, co przyspiesza operacje.

Podobnie jest w liczydle chińskim, także podzielonym na dwie części (niebo i ziemię) jak liczydło japońskie. Na przedstawienie piątek mamy w tym liczydle dwa koraliki, a także część dolna (ziemia) z jednostkami ma w każdym rzędzie o jeden koralik więcej (po 5). W tym przypadku występuje możliwość przedstawienia tej samej liczby w systemie dziesiętnym za pomocą więcej niż jednego układu koralików. Przykładowo liczba 12 jest przedstawiona na fotografii obok w dwóch układach. Wynika to stąd, że dawny chiński układ jednostek wagowych był układem szesnastkowym. Jeden chin (jin) równał się szesnastu liang'om (tael). Jeden liang to ok. 37,3 g. Liczydła suanpan były powszechnie używane przez kupców i ułatwiały im obliczenia handlowe [8]. Dzisiaj mogą wspomagać obliczenia programistów, dla których system szesnastkowy jest bardzo przydatny.

Podziw budzi ogromna biegłość z jaką Rosjanie i Japończycy do dzisiaj posługują się swoimi liczydłami.

Polskie liczydło szkolne opisano szczegółowiej w rozdziale o liczeniu na liczydle [3]. W Polsce spełnia ono obecnie jedynie rolę doskonałej pomocy dydaktycznej w pierwszym okresie nauczania matematyki. Sztuka liczenia na liczydle łączy zabawę z arytmetyką. Można jednak odnieść wrażenie, że w wielu przypadkach prezentowanych w Internecie wykonań liczydeł, jego podstawowe funkcje uległy zatraceniu, a producenci zamiast liczydeł oferują tylko zabawki złożone z pokolorowanych przypadkowo koralików nanizanych na pręty, po których można je przesuwać bez należytego ładu i składu.

Nie należy zapominać o ogromnym wkładzie dawnych rachmistrzów w "poskramnianie" liczb. Dzięki postępowi jaki dokonał się na przestrzeni dziejów w zakresie liczenia, ludzie osiągnęli tak wiele w rozwoju techniki, a matematyka stała się odrębną i wiodącą dziedziną nauki. W dawnych wiekach była jedynie instrumentem astronomii i wspierała operacje kupieckie oraz pobór podatków.

W żmudnych obliczeniach zastępują człowieka maszyny. Pierwsze maszyny liczące opierały się na rozwiązaniach mechanicznych. W chwili gdy do wspomagania obliczeń wprowadzono elementy elektroniczne siła obliczeniowa maszyn wzrosła tak bardzo, że pozwoliło to osiągnąć nową jakość w przetwarzaniu danych, polegającą na symulacji procesów rzeczywistych i kreowaniu wirtualnych światów.

Przedział czasowy ewolucji komputerów jest stosunkowo krótki. Pierwszy komputer z elementami elektronicznymi ENIAC zbudowano w roku 1946. Liczydło udoskonalano przez wieki. Przez to stało się ono nie tylko "żywym" pomnikiem rozwoju techniki liczenia, ale skupia w sobie i łączy osiągnięcia wielu kultur oraz wybitnych jednostek różnych narodowości. Choćby z tego względu nie należy o tym wspaniałym narzędziu zapominać, bo prostota posługiwania się nim i niezwykła przydatność ukazują pierwiastek ludzkiego geniuszu oraz zawierają ogromny potencjał dydaktyczny.

W Internecie można znaleźć wiele informacji na temat powstania i ewolucji abaku [5], a w szczególności liczydeł z Chin i Japonii. To opracowanie jest tylko wprowadzeniem do przypomnienia polskiego liczydła szkolnego [1, 3], które jest niesłusznie - zdaniem autora - marginalizowane albo pomijane w opracowaniach historycznych oraz dydaktycznych, przez co trudno jest znaleźć informacje o sposobach korzystania z tego liczydła.








5. BIBLIOGRAFIA

  1. Purand, Zliczanie jedynek - www.purand.pl
  2. Conway J.H., Guy R.K., Księga liczb, WNT, Warszawa 1999
  3. Purand, Liczenie na liczydle - w systemie dziesiętnym (www.purand.pl)
  4. Ifrah G., Dzieje liczby czyli historia wielkiego wynalazku, Wyd. Zakład Narodowy im. Ossolińskich, Wrocław-Warszawa-Kraków-Gdańsk-Łódź 1990
  5. A Brief History of the Abacus - witryna internetowa
  6. Dianni J., Wachułka A., Tysiąc lat polskiej myśli matematycznej, PZWSz, Warszawa 1963
  7. Stewart I., Oswajanie nieskończoności. Historia matematyki, Prószyński i S-ka, Warszawa 2010
  8. Hexadecimal Numbers - Addition and Subtraction - witryna internetowa
  9. Gajdukov P.G., Ruskije połudiengi, czetveretcy i połuszki XIV-XVII w, Paleograf, Moskva 2006