JAK DAWNIEJ DZIELONO LICZBY?

DIVISIO FERREA

Spośród czterech¹ podstawowych działań arytmetycznych dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia; dzielenie zawsze sprawiało najwięcej kłopotu. Gdy, zamiast cyfr rzymskich, zaczęto wykorzystywać zapis dziesiątkowy liczb cyframi hindusko-arabskimi, obliczenia stały się znacznie łatwiejsze. Jednak dzielenie nadal wymagało więcej wprawy i umiejętności niż pozostałe operacje wykonywane na liczydłach.

Średniowieczni rachmistrze wypracowali kilka sposobów dzielenia liczb, starając się jak najwięcej uprościć rachunki i sprowadzić je do prostych dość mechanicznych działań. W opisach wymieniane są trzy sposoby dzielenia, nazywane²:

• divisio aurea (złoty);
• divisio ferrea (żelazny);
• divisio permixta (mieszany).

Sposób złoty jest najbardziej zbliżonym do dzielenia liczb, którego uczymy się dziś w szkole.
Sposób żelazny jest jeszcze prostszy, bo sprowadza dzielenie do wielokrotności liczby 10, jednak kosztem wydłużenia liczby operacji-przesunięć. Mnich Bernelinus z Paryża w swoim dziele Liber abaci z XI w. opisał działania sposobem żelaznym na abaku Gerberta³ z Aurillac, późniejszego papieża Sylwestra II w latach 999-1003. W abaku, przyszły papież, zaproponował po raz pierwszy w Europie, wykorzystanie cyfr hindusko-arabskich zapisanych na tzw. apeksach. Bernelinus był prawdopodobnie uczniem Gerberta w słynnej w owym czasie szkole katedralnej w Reims.

Liczydło wykorzystane w przykładach

Do przedstawienia żelaznego sposobu dzielenia wykorzystano liczydło z przypisanymi rzędami wartości jak na rysunku. W górnej połówce zapisywana jest dzielna (liczba dzielona), a w dolnej - iloraz, czyli wynik dzielenia. Obie te liczby ulegają zmianom w trakcie rachunków, aż do wyzerowania dzielnej (Przykład 2), lub osiągnięcia reszty mniejszej od dzielnika (Przykład 1).

Przykład 1

Dzielenie 876 ÷ 7 sposobem "żelaznym" na liczydle. Tej formy liczydła w średniowieczu prawdopodobnie nie było, ale zasada działania pozostaje ta sama i pokazuje jak radzono sobie w trudnych rachunkach.




Rys. 1.

Rys. 2.

Rys. 3.

Rys. 4.

• Rys. 1. (800 + 70 + 6) ÷ 7, zapamiętujemy dopełnienie 3, bo 7 + 3 = 10;
• Rys. 2. 800 ÷ 10 = 80, do zapisu wystarczy obniżenie rzędu pręta w obszarze ilorazu;
• Rys. 3. poprawka 3 × 80 = 240, pozostało do dzielenia 76 +240 = (300 + 10 + 6);
• Rys. 4. 300 ÷ 10 = 30, 80 + 30 = 110;
  
  

  Rys. 5.

  Rys. 6.

  Rys. 7.

  Rys. 8.

• Rys. 5. poprawka 3 × 30 = 90, pozostało do dzielenia 16 + 90 = (100 + 6);
• Rys. 6. 100 ÷ 10 = 10, 110 + 10 = 120;
• Rys. 7. poprawka 3 × 10 = 30, pozostało do dzielenia (6 + 30);
• Rys. 8. 30 ÷ 10 = 3, 120 + 3 = 123;
  
  

  Rys. 9.

  Rys. 10.

  Rys. 11.

  Rys. 12.

• Rys. 9. poprawka 3 × 3 = 9, pozostało do dzielenia 6 + 9 = (10 + 5);
• Rys. 10. 10 ÷ 10 = 1, 123 + 1 = 124;
• Rys. 11. poprawka 3 × 1 = 3, pozostało do dzielenia 5 + 3 = (8);
• Rys. 12. 8 ÷ 7 = 1 reszta (1), 124 + 1 = 125 reszta (1).
  

  Przykład 2

  Więcej operacji trzeba wykonać przy dzieleniu np. 876 ÷ 3, jednak zapisy w obszarach ilorazu i dzielnej można połączyć.

  
  

  Rys. 13

  Rys. 14

  Rys. 15

  Rys. 16

  Rys. 17

  Rys. 18

• Rys. 13. (800 + 70 + 6) ÷ 3, zapamiętujemy dopełnienie 7, bo 3 + 7 = 10;
• Rys. 14. 800 ÷ 10 = 80, poprawka 7 × 80 = 560, pozostało do dzielenia 76 + 560 = (600 + 30 + 6);
• Rys. 15. 600 ÷ 10 = 60, 80 + 60 = 140, poprawka 7 × 60 = 420, pozostało do dzielenia 36 + 420 = (400 + 50 + 6);
• Rys. 16. 400 ÷ 10 = 40, 140 + 40 = 180, poprawka 7 × 40 = 280, pozostało do dzielenia 56 + 280 = (300 + 30 + 6);
• Rys. 17. 300 ÷ 10 = 30, 180 + 30 = 210, poprawka 7 × 30 = 210, pozostało do dzielenia 36 + 210 = (200 + 40 + 6);
• Rys. 18. 200 ÷ 10 = 20, 210 + 20 = 230, poprawka 7 × 20 = 140, pozostało do dzielenia 46 + 140 = (100 + 80 + 6);
  
  

  Rys. 19

  Rys. 20

  Rys. 21

  Rys. 22

  Rys. 23

  Rys. 24

• Rys. 19. 100 ÷ 10 = 10, 230 + 10 = 240, poprawka 7 × 10 = 70, pozostało do dzielenia 86 + 70 = (100 + 50 + 6);
• Rys. 20. 100 ÷ 10 = 10, 240 + 10 = 250, poprawka 7 × 10 = 70, pozostało do dzielenia 56 + 70 = (100 + 20 + 6);
• Rys. 21.100 ÷ 10 = 10, 250 + 10 = 260, poprawka 7 × 10 = 70, pozostało do dzielenia 26 + 70 = (90 + 6);
• Rys. 22.90 ÷ 10 = 9, 260 + 9 = 269, poprawka 7 × 9 = 63, pozostało do dzielenia 6 + 63 = (60 + 9);
• Rys. 23. 60 ÷ 10 = 6, 269 + 6 = 275, poprawka 7 × 6 = 42, pozostało do dzielenia 9 + 42 = (50 + 1);
• Rys. 24. 50 ÷ 10 = 5, 275 + 5 = 280, poprawka 7 × 5 = 35, pozostało do dzielenia 1 + 35 = (30 + 6);
  
  

  Rys. 25

  Rys. 26

  Rys. 27

  Rys. 28

  Rys. 29

  Rys. 30

• Rys. 25. 30 ÷ 10 = 3, 280 + 3 = 283, poprawka 7 × 3 = 21, pozostało do dzielenia 6 + 21 = (20 + 7);
• Rys. 26. 20 ÷ 10 = 2, 283 + 2 = 285, poprawka 7 × 2 = 14, pozostało do dzielenia 7 + 14 = (20 + 1);
• Rys. 27. 20 ÷ 10 = 2, 285 + 2 = 287, poprawka 7 × 2 = 14, pozostało do dzielenia 1 + 14 = (10 + 5);
• Rys. 28. 10 ÷ 10 = 1, 287 + 1 = 288, poprawka 7 × 1 = 7, pozostało do dzielenia 5 + 7 = (10 + 2);
• Rys. 29. 10 ÷ 10 = 1, 288 + 1 = 289, poprawka 7 × 1 = 7, pozostało do dzielenia 2 + 7 = (9);
• Rys. 30. 9 ÷ 3 = 3, 289 + 3 = 292.

Podsumowanie

Dzielenie sposobem żelaznym sprowadza się do dzielenia przez 10, dzięki wykorzystaniu uzupełnienia. Dzielenie przez wielokrotność 10 na liczydle wymaga tylko obniżenia rzędu więc jest bardzo proste. To uproszczenie jest uzyskane kosztem większej liczby operacji, bowiem uzupełnienie do 10 trzeba korygować poprawką i konieczne jest tutaj dobre opanowanie tabliczki mnożenia.

Dzielenie przez liczbę jednocyfrową, jak pokazano na przykładach 1 i 2, jest stosunkowo proste, ale operacje dzielenia przez liczby wielocyfrowe wydłużają się już znacznie. Przykładowo: 876 ÷ 21, trzeba przeprowadzić w dwóch etapach: 876 ÷ 3 ÷ 7.

¹ W okresie średniowiecza rozróżniano także inne podstawowe działania rachunkowe jak np. połowienie i podwajanie.

² SMITH D.E., HSTORY OF MATHEMATICS, 1925, Universal Library OU_164224

³ Abak Gerberta zbudowany w katedrze w Reims miał 30 kolumn łączonych łukami po trzy. Całość można było objąć z podwyższenia dla chóru, a w przesuwaniu apeksów musieli pomagać uczniowie.