| START | HISTORIA LICZYDŁA | ZLICZANIE JEDYNEK | LICZENIE NA LICZYDLE | PIERWIASTEK KWADRATOWY |

www..pl







"Pierwszakom i Starszakom"
Purand




                1. Liczydło polskie i zapis liczb
                2. Zaokrąglanie liczb na liczydle
                3. Dodawanie na liczydle
                4. Odejmowanie na liczydle
                5. Mnożenie na liczydle
                6. Dzielenie na liczydle
                7. Bibliografia



1. LICZYDŁO POLSKIE I ZAPIS LICZB

Odpowiednia pozycja liczydła

We współczesnym systemie dziesiętnym, każda liczba składa się z ciągu cyfr, których umiejscowienie określa rząd liczby. Mamy więc rzędy jednostek, dziesiątek, setek, tysięcy, dziesiątek tysięcy, setek tysięcy, milionów itd.Liczydło polskie

Na liczydle używanym w Polsce do początkowej nauki arytmetyki, rzędy są przypisywane rosnąco od dołu do góry, choć liczydło powinno raczej leżeć przed nami nieco ukośnie (rysunek). Tak ułożone liczydło jest bardziej stabilne niż ustawione pionowo i w mniejszym stopniu grozi "katastrofą rachunkową". Liczydło polskie, inaczej nazywane słowiańskim¹), ma najbliżej (najniżej) położony rząd jednostek a najdalej (najwyżej) - rząd miliardów. Oznacza to, że w tym najdalszym rzędzie każdy koralik ma wartość równą miliard²) (1 000 000 000).

Rzędy liczby nie są opisane na liczydle. Dzięki temu może ono być wykorzystywane bardziej elastycznie do zapisu więcej niż tylko jednej liczby, albo do zabawy w tabliczkę mnożenia do stu bez wykorzystywania pozycyjnego zapisu liczb [5].

Liczydło rozpowszechnione w Polsce ma w dziesięciu rzędach po dziesięć koralików w czterech kolorach rozmieszczonych tak, że tworzą one cztery ćwiartki po 25 koralików (fotografia). Dzięki temu łatwo zorientować się ile koralików zostało przesuniętych w rzędzie. Także po piątym rzędzie dziesiątek tysięcy następuje zmiana koloru koralików. Kolory nie tylko więc zdobią, ale także ułatwiają szybką orientację w rozkładzie i odliczanie koralików. Kolory powinny być kontrastowe i właściwie dobrane pod względem estetycznym.

Koraliki dosuwamy zawsze do krawędzi liczydła lub do innego koralika. W ten sposób, tworzą one w rzędzie najwyżej dwie zwarte grupy lewą i prawą oddzielone jednym odstępem. Ma on zwykle długość od 1/6 do 1/3 całej długości rzędu, czyli rozpiętość odpowiadającą zgrupowaniu od dwóch do pięciu koralików. Nie jest to jednak ściśle określone, choć wydaje się, że lepszy jest większy odstęp.

Cyfry znaczące (tj. różne od zera) rzędu liczby są wyznaczane tylko przez koraliki znajdujące się po lewej stronie liczydła. Brak koralików po tej stronie oznacza zero w tym rzędzie.

Na liczydle w zasadzie wykonywane są tylko operacje dodawania i odejmowania przez dosuwanie i odsuwanie koralików. Mnożenie sprowadza się w tej sytuacji do wielokrotnego dodawania, a dzielenie - do wielokrotnego odejmowania.

Każde działanie arytmetyczne dzieli się na operacje, które w przykładach zamieszczonych dalej są pokazane na rysunkach pogrupowanych wg działań arytmetycznych.

Po zakończeniu każdej operacji dodawania albo odejmowania, grupy koralików po lewej stronie mogą liczyć co najwyżej dziewięć koralików. Dosunięcie dziesiątego koralika do tej grupy może być tylko przejściowe i zaraz pociąga zamianę całej grupy na koralik o jeden rząd wyższej. Podobnie gdy odsuwamy koraliki w prawo i po stronie lewej ich zabraknie, to wtedy zamieniamy jeden koralik z sąsiedniego rzędu wyżej na grupę dziesięciu koralików w rzędzie niżej, od której zaraz odejmujemy brakujące do zakończenia operacji koraliki. Także w tej sytuacji nigdy nie pozostawiamy po zakończeniu operacji na lewej stronie dziesięciu koralików.

Każda operacja zamiany wymaga przesunięć na dwóch sąsiednich rzędach, a w przypadku odejmowania kończy się zawsze przesunięciem w prawo pozostałych do odjęcia koralików.

W Internecie jest krótki film pokazujący podstawowe działania na liczydle [1].

Przykłady zapisu liczb na liczydle
Układ A. Jedna liczba

Nr 0

Nr 1 (12)

Nr 2 (2 100)

Nr 3 (357 229 647)
Układ B. Dwie liczby

Nr 0

Nr 1 (761 i 0)

Nr 2 (501 i 20)

Nr 3 (98 i 51)

Z pozycyjnych sposobów zapisu liczb [3] na tym liczydle wynika, że największa możliwa do przedstawienia liczba wynosi: 9 999 999 999 w przypadku pierwszym A. W drugim przypadku B można zapisać w każdej części liczydła liczbę 99 999.

Zakres liczydła można zwiększyć dodając więcej rzędów. Można też inaczej rozdzielić rzędy liczydła na zapis rzędów liczb, ale to wymaga już większej biegłości w posługiwaniu się tym przyrządem.

Zwraca uwagę sposób przedstawiania zera. Po prostu wtedy wszystkie koraliki są po stronie prawej. Nie ma więc w tym przypadku konieczności wprowadzania dodatkowych nazw wystarczy pozostawić puste miejsce po lewej stronie. To m. in. miało wpływ na dość późne odkrycie zera (Indie VI w. [2]).


¹) - szkolne liczydło polskie (ang. Polish abacus) wykształciło się na przestrzeni kilkunastu wieków [4] i jest także nazywane liczydłem słowiańskim (ang. Slavonic abacus). Podobną formę ma tzw. liczydło rosyjskie (ang. Russian abacus) w oryginale . Znacznie obszerniej są w Internecie przedstawione liczydła chińskie (tzw. suanpan) i japońskie (tzw. soroban).

²) - system amerykański używa dla liczby 1 000 000 000 nazwy bilion i nie jest to jedyna myląca różnica między systemami amerykańskim i europejskim. Polski bilion (1012) odpowiada amerykańskiemu trylionowi, polski biliard (1015) - amerykańskiemu kwadrylionowi, polski trylion (1018), odpowiada amerykańskiemu kwintylionowi, a kwadrylion (1024) - amerykańskiemu septylionowi.








2. ZAOKRĄGLANIE LICZB NA LICZYDLE

Często posługując się liczbami korzystamy z zaokrągleń. Ułatwia to zapamiętywanie i pozwala lepiej oraz szybciej ocenić istotną różnicę wartości, np. towaru i nie poddawać się reklamowej sugestii niższych cen, gdy coś jest tańsze od 12 zł, bo kosztuje 11,99 zł.

Podstawowa zasada zaokrąglania liczby do określonego rzędu dziesiątek, setek, tysięcy, dziesiątek tysięcy itd., polega na pozostawianiu cyfry bez zmian, jeśli za nią stoi cyfra mniejsza od 5 (0, 1, 2, 3, 4).

Np. I. Zaokrąglanie do rzędu tysięcy: 123 456 ≈ 123 000

Jeśli w rzędzie sąsiednim, niższym występuje cyfra większa od 4 (5, 6, 7, 8, 9), to w zaokrągleniu dodajemy jeden.

Np. II. Zaokrąglanie do rzędu setek: 123 456 ≈ 123 500

W rzędach niższych od rzędu, do którego zaokrąglamy, wpisywane jest zawsze zero.

 
Np. I: kolory równe (=) Np. II: kolory różne (≠)

Na liczydle zaokrąglanie przebiega mechanicznie i uzależnione jest od koloru koralików pierwszych po stronach lewej i prawej liczydła w sąsiednim rzędzie niższym niż rząd zaokrąglenia.

Jeśli kolor koralika pierwszego po lewej jest taki sam jak kolor koralika pierwszego po prawej w tym rzędzie, to ustawienie w rzędzie wyższym, do którego zaokrąglamy, pozostawiamy bez zmian (Np. I).

Także bez zmian pozostawiamy rząd zaokrąglenia, jeżeli po stronie lewej w sąsiednim rzędzie niżej, brak koralików. Można uznać, że wtedy też nie ma różnicy kolorów.

Jeśli kolor koralika pierwszego po lewej jest inny niż kolor pierwszego od lewej koralika po prawej stronie odstępu w tym rzędzie, to zaokrąglamy dodając w rzędzie wyżej jeden koralik (Np. II).

We wszystkich rzędach liczby poniżej rzędu, do którego zaokrąglamy, przesuwamy koraliki na prawą stronę, czyli ustawiamy na zero.

Przykłady zaokrągleń liczby 252 806

Nr 0 (252 806)

Nr 1 (252810)

Nr 2 (252 800)

Nr 3 (253 000)

Nr 4 (250 000)

Nr 5 (300 000)

Wartość zaokrąglenia np. 1000 otrzymujemy z liczb w zakresie od 500 do 1499, a np. zaokrąglenie 252 800 (Nr 2) z zakresu liczb od 252 750 do 252 849.

Przedstawiony sposób zaokrąglania do najbliższej wartości jest dość powszechnie stosowany, ale nie jest jedynym. Zaokrąglanie może przebiegać także wg innych zasad, np. zaokrąglanie z nadmiarem, czy zaokrąglanie z niedomiarem. Istnieje też sposób zaokraglania, który zmniejsza błąd związany z takim działaniem na dużych zbiorach liczb.








3. DODAWANIE NA LICZYDLE

Ogólnie liczby w działaniach dodawania i odejmowania są nazywane składnikami w odróżnieniu od liczb w działaniach mnożenia i dzielenia, które są nazywane czynnikami. Wynik dodawania nazywany jest sumą.

Podczas dodawania, gdy przesuwamy koraliki z prawej strony na lewą, rząd może wypełnić się do dziesięciu i wtedy obowiązuje zasada w ramce.


Dziesięć koralików w rzędzie niższym zostaje zamienione na jeden koralik w sąsiednim rzędzie wyższym

Przykład dodawania: 7 + 5

Nr 1

Nr 2

Nr 3

Nr 4

Sposób dodawania przedstawiono na rysunkach liczydła.

  1. Na początku ustawiana jest liczba 7 (Nr 1).
  2. Następnie dodawane są kolejne koraliki (tu: 3), aż w rzędzie zostanie osiągnięta liczba 10 (Nr 2).
  3. Zamieniamy dziesięć jednostek na jedną dziesiątkę (Nr 3).
  4. Na końcu dodawane są brakujące do pięciu 2 koraliki (Nr 4).

7 + 5 = 7 + 3 + 2 = 10 + 2 = 12








4. ODEJMOWANIE NA LICZYDLE

Liczba od której odejmujemy nazywana jest odjemną, a liczba którą odejmujemy, nazywana jest odjemnikiem. Wynik odejmowania nazywamy różnicą.

odjemna - odjemnik = różnica

Podczas odejmowania przesuwamy koraliki z lewej na prawą stronę liczydła. Pewnego rodzaju wyjątek występuje tylko wtedy, gdy zachodzi konieczność zamiany koralika wyższego rzędu na dziesięć koralików niższego rzędu. Wtedy przesuwamy jeden koralik w rzędzie wyższym z lewej na prawo (odejmujemy) a dziesięć koralików w rzędzie niższym z prawej na lewo (dodajemy). Zwykle wykonujemy to już po odjęciu w tym rzędzie brakującej liczby koralików i dlatego przesuwamy zwykle liczbę koralików mniejszą od dziesięciu.


Jeśli zabraknie koralików w rzędzie, to zamieniamy jeden koralik w rzędzie sąsiednim wyższym na dziesięć koralików w rzędzie, w którym ich zabrakło

Odejmowanie można rozpocząć zarówno od najwyższych rzędów jak i od najniższego rzędu jednostek.

W przykładzie poniżej odejmowanie rozpoczęto od rzędu dziesiątek.

Przykład odejmowania: 327 - 39 = 288
 
Nr 1

Nr 2

Nr 3

Nr 4

Nr 5

Nr 6

Nr 7
  1. Po zapisaniu odjemnej tu: 327 (Nr 1).
  2. Odejmujemy 30, ale w rzędzie dziesiątek są tylko dwa koraliki (Nr 2).
  3. Dlatego po ich odjęciu, jedną setkę zamieniamy na dziesięć dziesiątek (Nr 3).
  4. I odejmujemy brakującą jeszcze jedną dziesiątkę - jeden koralik w rzędzie dziesiątek (Nr 4).
  5. Teraz odejmujemy dziewięć jednostek, ale w tym rzędzie jest tylko siedem koralików (Nr 5).
  6. Po odjęciu tej siódemki brakuje jeszcze dwóch jednostek, zamieniamy więc jedną dziesiątkę na dziesięć jednostek (Nr 6).
  7. I teraz odejmujemy brakujące jeszcze dwie jednostki - przesuwając w prawo dwa koraliki. Ostatecznie otrzymujemy wynik 288 (Nr 7).

Można też to samo obliczenie wykonać nieco inaczej.

Przykład odejmowania 327 - 39 = 327 - 40 + 1

Nr 1

Nr 2

Nr 3

Nr 4

Nr 5
  1. Zapisujemy odjemną (tu: 327), a odjemnik pamiętamy (tu: 39).
  2. Najpierw odejmujemy 20 przesuwając dwa koraliki w prawo i teraz na poziomie dziesiątek nie ma już koralików po lewej stronie, a brakuje jeszcze do odjęcia dwóch koralików w rzędzie dziesiątek, czyli wartości 20 (Nr 2).
  3. Zamieniamy więc jedną setkę - jeden koralik w rzędzie setek przesuwamy w prawo - na dziesięć dziesiątek, czyli na lewą stronę w rzędzie dziesiątek przesuwamy wszystkie dziesięć koralików (Nr 3).
  4. Teraz można odjąć kolejną wartość 20 przesuwając dwa koraliki w rzędzie dziesiątek w prawo. W ten sposób została odjęta wartość 40 (Nr 4).
  5. Pozostało dodanie jednego koralika w rzędzie jednostek i w ten sposób otrzymujemy wynik 288 (Nr 5).







5. MNOŻENIE NA LICZYDLE

Liczba którą mnożymy nazywana jest mnożną. Liczba przez którą mnożymy nazywana jest mnożnikiem, a wynik mnożenia nazywany jest iloczynem.

mnożna × mnożnik = iloczyn

Znakami mnożenia są: znak ×, kropka środkowa ·, a w programowaniu działania, używana jest gwiazdka *.

Jak wspomniano wcześniej, mnożenie liczb polega na wielokrotnym - zależnym od wartości mnożnika - dodawaniu mnożnej, inaczej liczby namnażanej. Rezultatem takiego działania jest iloczyn, który po wykonaniu działań na liczydle zajmuje miejsce mnożnej. Działanie rozpoczynamy od najmniejszych wielokrotności mnożnika.

Przykład mnożenia 175 × 12

Nr 1

Nr 2

Nr 3

Nr 4

Nr 5

Nr 6

Nr 7

Nr 8

Nr 9

Nr 10
  1. Mnożnik nie jest zapisywany na liczydle i wystarczy go zapamiętać. Natomiast zapisujemy mnożną i jest to jednocześnie pomnożenie jej przez jeden 175 × 1 = 175 (Nr 1).
  2. W przykładzie jeszcze raz dodajemy 175. Po drodze należy dokonać zamiany dziesiątek (Nr 2) na jedną setkę (Nr 3) i jednostek (Nr 5) na jedną dziesiątkę. W rezultacie otrzymujemy 175 × 2 = 350 (Nr 6).
  3. Następnie dodawana jest raz dziesięciokrotna wartość 175 × 10, czyli 1750. Tutaj także wykonywane są zamiany setek na tysiąc (Nr7) i dziesiątek na jedną setkę (Nr 9).
  4. Na końcu otrzymywany jest wynik 2100 (Nr 10).

Przykład mnożenia 1 156 083 × 309 = 1 156 083 × 10 + 3 × 1 156 083 × 100 - 1 156 083

Nr 1

Nr 2

Nr 3

Nr 4

Nr 5
  1. Mnożenie większych liczb wymaga nieco więcej działań, jednak i w tym przypadku można ułatwić sobie zadanie.
  2. Zamiast 9 razy dodawać 1 156 083 wystarczy raz dodać 11 560 830 (dziesięciokrotną wartość mnożnej) (Nr 1).
  3. Następnie mnożymy przez 300, trzykrotnie dodając 115 608 300 = 1 156 083 × 100 (Nr 4).
  4. Pozostaje jeszcze odjąć jeden raz 1 156 083 (Nr 5).







6. DZIELENIE NA LICZYDLE

Liczbę którą dzielimy nazywamy dzielną, a liczbę przez którą dzielimy nazywamy dzielnikiem. Wynik dzielenia nazywa się ilorazem.

dzielna ÷ dzielnik = iloraz

Znakami dzielenia są: dwukropek z kreską ÷, sam dwukropek :, kreska dzielenia /, lub sama kreska ułamkowa.

Wykonywanie dzielenia na liczydle sprowadza się do wielokrotnego odejmowania.

Dzielenie zaczyna się od odejmowania mieszczących się w dzielnej największych dziesiątkowych wielokrotności dzielnika

Można odejmować wielokrotnie sam dzielnik, ale podana w ramce zasada znacznie przyspiesza dzielenie i odejmowanie.

Przykład dzielenia: 761 ÷ 13
 
Nr 1

Nr 2

Nr 3

Nr 4
  1. Liczydło w tym przypadku jest domyślnie podzielone na dwie części górną i dolną (Układ B - Nr 0). Podział taki ułatwiają kolory koralików. Każda część ma w pierwszym rzędzie jednostki. W przypadku uzyskania większej wprawy w rachowaniu na liczydle, podział ten można potraktować bardziej elastycznie.
  2. Górną część przeznaczamy na iloraz lub zapisujemy w tej części liczydła dzielną (tu: 761), a dzielnik (tu:13) zachowujemy w pamięci. Dolna część jest przeznaczona na zapis dzielnej lub wyniku dzielenia - ilorazu (Nr 1). Taki podział jest sprawą umowną i ma znaczenie drugorzędne.
  3. Odejmujemy kolejno dwa razy po 130 (13·10). W dolnej części w rzędzie dziesiątek ilorazu zapisujemy ten wynik przesuwając w lewo dwa koraliki. Pozostaje w górnej części zapisana wartość 501, a w dolnej jest odnotowana wartość 20 (Nr 2).
  4. Kolejne odejmowanie wymaga zamiany jednej setki na dziesięć dziesiątek (Nr 3) i odejmowanie można kontynuować za każdym razem odnotowując to w dolnej części w rzędzie dziesiątek ilorazu. Prowadzi to do nru 4, w którym w rzędzie dziesiątek dzielnej pozostaje jeden koralik.
  5. Teraz (Nr 4) odejmowanie kolejnych 130 nie jest już możliwe (111 < 130) i dlatego zaczynamy odejmować wartości o rząd mniejsze (tu: 13). Każde odjęcie zapisywane jest od tej chwili w rzędzie jednostek ilorazu.

Nr 5

Nr 6

Nr 7

Nr 8

Nr 9
  1. Najpierw zamieniamy jedną dziesiątkę dzielnej na jednostki i odejmujemy 3 koraliki. Jedna jednostka już jest, więc od zamienionej dziesiątki odejmujemy tylko brakujące 2 koraliki pozostawiając 8. W tej sytuacji na poziomie dziesiątek nie ma już koralików, więc sięgamy do poziomu setek i zamieniamy pozostałą jedną setkę na dziesięć dziesiątek. Od tej dziesiątki odejmujemy jeden koralik i należy odnotować to w wyniku jednostek ilorazu przesuwając koralik w lewo (Nr 5).
  2. W dalszym ciągu odejmujemy jeszcze dwa razy 13 otrzymując nr 6 (98 - 2·13 = 72). Jednocześnie przesuwamy dwa koraliki z poziomu jednostek ilorazu w lewo (51 + 2 = 53)
  3. Dalej odejmujemy kolejną 13 (-3 - 10 = -13) znowu zaczynając od jednostek. W tym stanie (Nr 6) można odjąć dwa koraliki (dwie jednostki), więc aby móc odjąć jeszcze jeden koralik od jednostek, trzeba zamienić jedną dziesiątkę dzielnej przesuwając na poziomie dziesiątek jeden koralik w prawo. W rzędzie jednostek dzielnej pozostanie wtedy 9 koralików, a w rzędzie dziesiątek przesuwamy jeszcze jeden koralik w prawo odejmując 10 (Nr 7).
  4. Kolejno odejmujemy jeszcze trzy razy po 13, pamiętając o dodaniu za każdym razem koralika do wyniku (Nr 8).
  5. Pozostały w części górnej dwie dziesiątki. Jedną z nich zamieniamy na jednostki i odejmujemy 3 koraliki. Pozostałą dziesiątkę także trzeba odjąć i odnotować to dodając jeden koralik w rzędzie jednostek ilorazu.
  6. Z dzielnej pozostało siedem koralików i jest to reszta z dzielenia przez 13. Ostateczny wynik 58 i reszta 7 (Nr 9).






7. BIBLIOGRAFIA

  1. Jak kiedyś mnożono na liczydłach - film ze strony: http://vimeo.com/25369157
  2. Ifrah G., Dzieje liczby czyli historia wielkiego wynalazku, Wyd. Zakład Narodowy im. Ossolińskich, Wrocław-Warszawa-Kraków-Gdańsk-Łódź 1990
  3. Stewart Ian, Oswajanie nieskończoności. Historia matematyki, Wyd. Prószyński i S-kaWarszawa 2010
  4. Puran, Historia liczydła (skrót) - www.purand.pl
  5. Puran, Zliczanie jedynek