| START | HISTORIA LICZYDŁA | ZLICZANIE JEDYNEK | LICZENIE NA LICZYDLE | PIERWIASTEK KWADRATOWY |

www..pl







"Pierwszakom i Starszakom"
Purand





                1. Pierwiastkowanie
                2. Geometryczny aspekt pierwiastkowania
                3. Pierwiastkowanie w słupku
                4. Pierwiastkowanie na liczydle
                5. Bibliografia



1. PIERWIASTKOWANIE

Znak pierwiastka kwadratowego

Pierwiastkowanie to jedno z dwóch działań odwrotnych do potęgowania. Drugim jest logarytmowanie. Jeśli n jest liczbą naturalną, to można obliczać wynik n-tej potęgi każdej nieujemnej liczby. Natomiast z każdej liczby będącej wynikiem takiego potęgowania można obliczyć pierwiastek n-tego stopnia. Liczbę z której wyznaczamy pierwiastek nazywamy wtedy liczbą pierwiastkowaną, lub podpierwiastkową. Pierwiastek drugiego stopnia (n=2) jest nazywany także pierwiastkiem kwadratowym i tylko obliczanie pierwiastków kwadratowych będzie przedmiotem dalszych rozważań.

Dawniej do oznaczenia pierwiastka √ używano stylizowanej formy litery r od łacińskiego radix, tzn. baza, korzeń. Liczby pierwiastkowane w pierwiastkach stopni parzystych nie mogą być ujemne, więc także pierwiastki kwadratowe można obliczać tylko z zera lub liczby dodatniej. Wyjątek stanowi oznaczenie części urojonej (łac. imaginaris) liczby zespolonej (), które właściwie należy traktować jako symbol, a nie jako liczbę. Dla danej liczby zespolonej z symbol ten odróżnia część urojoną od części rzeczywistej (łac. realis) tej liczby:

z = re z + i·im z

Pierwiastek kwadratowy z liczby wymiernej, może być liczbą niewymierną, tj. taką, której rozwinięcie dziesiętne nie kończy się, ani nie zawiera okresu. Nie można jej wyrazić w postaci ułamka liczb całkowitych. Historycznie pierwszym znanym przykładem liczby niewymiernej jest √2 = 1,414213 562373 095048 801688 724209 698078 5696... [1].

Wartość √2 możemy znaleźć na glinianych tabliczkach Babilończyków, którzy znali jej wartość do szóstego miejsca po przecinku i w zapisach Pitagorejczyków (VI w.p.n.e.).

Pitagorejczycy usiłowali porządek świata opisać za pomocą liczb naturalnych. Odkrycie niewymierności √2 burzyło ten porządek i wywarło silny wpływ na matematyków greckich, co także znalazło swoje odbicie w wielu legendach z nim związanych.

John H. Conway i Richard K. Guy [1] powołując się na przekaz Proklosa podają, że odkrycie o niemożności przedstawienia √2 w postaci ułamka liczb całkowitych, uczczono ofiarą ze stu wołów.

Ian Stewart [2] przytacza legendę jakoby uczeń Pitagorasa Hippazos z Metapontu, który odkrył niewymierność przekątnej kwadratu o boku równym jednej jednostce długości (rysunek), został przez innych uczniów utopiony w Morzu Śródziemnym. Chcieli oni tym sposobem utajnić niewygodne dla nich odkrycie.

Długość przekątnej kwadratu przedstawia nieskończony ciąg cyfr w rozwinięciu dziesiętnym liczby √2, ale jak pokazano na rysunku można taki odcinek wykreślić dokładnie. W wielu przypadkach geometria przychodzi z pomocą rozważaniom liczbowym.








2. GEOMETRYCZNY ASPEKT PIERWIASTKOWANIA

W opracowaniu [3] przedstawiono liczby kwadratowe na liczydle. W zakresie do stu łatwo jest odczytać wartość pierwiastka z liczby kwadratowej jako długość boku wiersza albo kolumny, wyrażoną w liczbie koralików. Podobna zasada wydzielania kwadratów leży u podstaw sposobu obliczania pierwiastków z dowolnych liczb rzeczywistych. Należy oczywiście pamiętać, że w przypadku pierwiastków kwadratowych muszą to być liczby nieujemne.

Na rysunku obok przedstawiono kwadrat zaznaczony kolorem czerwonym, którego pole jest równe:
(x2+x1+x0)2 przy czym liczbowo:
x2=a·102;
x1=b·101;
x0=c·100; gdzie a, b, c są cyframi zapisu dziesiątkowego.
Np. 3212 = (3·102 + 2·101 + 1·100)2 = 103041
Na rysunku obok przedstawiono figurę geometryczną zaznaczoną kolorem czerwonym, której pole jest równe:
(x2+x1+x0)2 - x22
Np. 3212 - 3002 =
      103041 - 90000 = 13041
Na rysunku obok przedstawiono figurę geometryczną zaznaczoną kolorem czerwonym, której pole jest równe:
(x2+x1+x0)2 - x22 - 2x2x1 - x12
Np. 3212 - 3002 - 2·300·20 - 202 =
      103041 - 90000 - 12000 - 400= 641
Na rysunku obok przedstawiono kwadrat, dla którego jest spełnione równanie:
(x2+x1+x0)2 - x22 - 2x2x1 - x12 - 2(x2 + x1)x0 - x02 = 0
Np. 3212 - 3002 - 2·300·20 - 202 - 2·(300 + 20)·1 - 12 = 0
      103041 - 90000 - 12000 - 400 - 640 - 1 = 0

Dla liczb o większej liczbie cyfr zależności przedstawiają się podobnie:
(x3+x2+x1+x0)2 = x32 + 2x3x2 + x22 + 2(x3+x2)x1 + x12 + 2(x3+x2+x1)x0 + x02
(x4+x3+x2+x1+x0)2=x42+ 2x4x3+x32+2(x4+x3)x2+x22+2(x4+x3+x2)x1+ x12+2(x4+x3+x2+x1)x0+x02
itd.








3. PIERWIASTKOWANIE W SŁUPKU

Przedstawione w punkcie poprzednim zależności łatwo wykorzystać do obliczania pierwiastków bez pomocy kalkulatora czy komputera, tzw. liczenie w słupku.

  Przykład 1
            _______
           √13|69 = 37 → (A)
             -9 → (B)
              4 69 ≥ {2·3}_·_=6_·_=67·7=469 → (C)
             -4 69
              = ==

          Sprawdzenie: 1369 = 372 → (D)

Aby obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby 1369 (Przykład 1):

  1. Dzielimy liczbę pierwiastkowaną na grupy dwucyfrowe zaczynając od jednostek (np. kreskami pionowymi |).
  2. Dla pierwszej grupy (tu: 13) znajdujemy równy albo najbliższy mniejszy pierwiastek kwadratowy (tu: 3).
  3. Od liczby pierwszej grupy cyfr odejmujemy kwadrat wyznaczonego wcześniej pierwiastka (tu: 9) i zapisujemy różnicę (tu: 4).
  4. Do różnicy dopisujemy drugą grupę cyfr (tu: 69) i wyznaczamy nową liczbę (tu: 469).
  5. Dla wyznaczonej liczby znajdujemy równy lub najbliższy mniejszy iloczyn, w którym:
    1. mnożna ma pierwsze cyfry wyznaczone przez podwojenie uzyskanego dotąd wyniku (tu: 2·3=6);
    2. ostatnia cyfra mnożnej i cyfra określająca mnożnik są jednakowe oraz mają wstępnie miejsca oznaczone kreską podkreślenia;
    3. tę cyfrę tak dobieramy (tu: 7), aby utworzone mnożna (tu: 67) i mnożnik (tu: 7) dawały iloczyn (tu: 67·7=469) o wartości równej albo najbliższej mniejszej względem wyznaczonej liczby (tu: 496).
  6. Do wyniku pierwiastka dopisujemy wyznaczoną cyfrę (tu: 7), dobraną wg wyżej przedstawionego sposobu.
  7. Jeśli różnica jest równa zero, to obliczenia kończymy z dokładnym wynikiem (tak jak w przykładzie 1).

Oznaczenia od A do D zawarte w przykładzie 1 nawiązują do geometrycznego aspektu obliczania pierwiastka przedstawionego wyżej, przy czym x1=3·101, a x0=7·100. Natomiast:

  1. =(x1+x0)
  2. -x12
  3. ≥(2x1+x0)x0
  4. =(x1+x0)2

Nie zawsze jednak wynik jest tak dokładny jak w przykładzie 1. Przykład 2 przedstawia właśnie taki przypadek.

  Przykład 2
            _______________
           √12|34|56|78|90 ≈ 35136
            -9   
             3 34          ≥ {2·3}_·_=6_·_=65·5=325
            -3 25
                9 56       ≥ {2·35}_·_=701·1=701
               -7 01
                2 55 78    ≥ {2·351}_·_=7023·3=21069
               -2 10 69
                  45 09 90 ≥ {2·3513}_·_=70266·6=421596
                 -42 15 96
                   2 93 94

          Sprawdzenie: 1234567890 = 351362 + 29394

Warto zwrócić uwagę, że oprócz pierwszej cyfry wyniku, każda następna cyfra pierwiastka jest oznaczona w słupku przez podkreślenie.

Grupa najwyższa może zawierać tylko jedną cyfrę, jak pokazuje to przykład 3. W tym przykładzie skrócono też nieco zapis obliczeń.

  Przykład 3
            ______________
           √1|23|45|67|89  ≈ 11111
            -1   
               23          ≥ 21·1=21
              -21
                2 45       ≥ 221·1=221
               -2 21
                  24 67    ≥ 2221·1=2221
                 -22 21
                   2 46 89 ≥ 22221·1=22221
                  -2 22 21
                     24 68

          Sprawdzenie: 123456789 = 111112 + 2468

Ten sposób obliczeń prezentowany dotąd dla liczb naturalnych, bardzo łatwo można rozszerzyć na liczby rzeczywiste. Sposób obliczeń jest taki sam. Należy tylko grupy dwucyfrowe liczby pierwiastkowanej zaznaczyć także w części ułamkowej, rozpoczynając od przecinka (separatora) i dalej w prawo, np.:

29876,345 → 2|98|76,34|50

W chwili gdy do obliczeń jest włączana grupa stojąca za przecinkiem w wyniku także zaznacza się przecinek.

  Przykład 4
            ____________________
           √2,00|00|00|00|00|00  ≈ 1,414213
           -1   
            1 00                 ≥ 24·4=96
             -96
               4 00              ≥ 281·1=281
              -2 81
               1 19 00           ≥ 2824·4=11296
              -1 12 96
                  6 04 00        ≥ 28282·2=56564
                 -5 65 64
                    38 36 00     ≥ 282841·1=282841
                   -28 28 41
                    10 07 59 00  ≥ 2828423·3=8485269
                    -8 48 52 69
                     1 59 06 31


          Sprawdzenie: 2 = 1,4142132 + 0,000001590631

Jak widać z przykładu 4, obliczenia można prowadzić aż do uzyskania wymaganej dokładności nawet dla liczb niewymiernych. Wystarczy po przecinku uzupełnić zapis o odpowiednią liczbę zer.








4. PIERWIASTKOWANIE NA LICZYDLE

Sposoby wykonywania działań arytmetycznych na liczydle zostały omówione już wcześniej [4]. Do obliczania pierwiastka wykorzystuje się te same podstawowe działania i sposoby przedstawione w aspekcie geometrycznym pierwiastkowania oraz przy obliczeniach pierwiastków w słupkach. Zmienia się jednak organizacja obliczeń na liczydle. Algorytm postępowania przedstawiono na przykładach obliczania pierwiastka z liczb: 1 369; 88 999 999, 2 i 9 999.

Przykłady obliczeń pierwiastka kwadratowego na liczydle
Przykład 5. Pierwiastek kwadratowy liczby 1369

Nr 01
Nr 01. Liczydło jest podzielone domyślnie na dwa obszary: dolny - podpierwiastkowy i górny - pierwiastkowy. W obszarze podpierwiastkowym zapisujemy liczbę pierwiastkowaną (1369).
Domyślnie dzielimy cyfry tej liczby na dwucyfrowe grupy zaczynając od jednostek. Tak samo jak podczas obliczeń w słupku.

Nr 02
Nr 02. Dla liczby utworząnej z pierwszej grupy cyfr (13) szukamy takiej liczby, która podniesiona do kwadratu da wartość równą lub najbliższą mniejszą od liczby rozważanej (13). Wynik (3) zapisujemy w obszarze pierwiastkowym w rzędzie dziesiątek, gdyż każdej grupie przyporządkowany jest jeden rząd.

Nr 03
Nr 03. Od liczby pierwszej grupy cyfr (13), która może też być jednocyfrowa, odejmujemy kwadrat liczby jednocyfrowej zapisanej w obszarze pierwiastka. Do wyniku działania (13-32=4) dołącza się teraz kolejną grupę cyfr (469) w obszarze podpierwiastkowym.
Nr 04
Nr 04. W obszarze pierwiastkowym podwajamy zapisaną liczbę (2·3=6).
Następne działanie jest najtrudniejsze podczas pierwiastkowania i wymaga pewnej biegłości w ocenie iloczynu, w którym zarówno mnożna jak i mnożnik są dopiero tworzone przez dopisanie jednej cyfry!

Nr 05
Nr 05. Trzeba teraz znaleźć taką liczbę jednocyfrową, która będzie dopisana do cyfr liczby pierwiastka tworząc mnożną i jednocześnie będzie mnożnikiem takim, że iloczyn nie przekroczy liczby rozważanej aktualnie w obszarze podpierwiastkowym (469). W przykładzie taką liczbą-cyfrą jest 7, bo 469≥67·7.
Nr 06
Nr 06. Od rozważanej aktualnie liczby podpierwiastkowej odejmujemy iloczyn (67·7), przy czym jeśli mnożnik przekracza pięć można to wykonać szybciej jeśli najpierw odejmiemy wielokrotność 5 (670÷2=335). w przykładzie zapisano wynik pośredni 469-335=134.

Nr 07
Nr 07. I jeszcze trzeba odjąć 2·67, co w przykładzie powoduje wyzerowanie liczby w obszarze podpierwiastkowym.
Nr 08
Nr 08. Na koniec należy z powrotem liczby pomnożone przez dwa w obszarze pierwiastkowym podzielić przez dwa. W przykładzie 6÷2=3 i ostateczny wynik równa się 37.
Z przedstawionego sposobu obliczeń pierwiastka kwadratowego wynika, że za pomocą polskiego liczydła szkolnego można wyznaczyć pierwiastki z liczb podpierwiastkowych do wartości 99 999. Jednak udaje się zwiększyć ten zakres nawet do 88 999 999, jeśli sięgnąć po dalsze pręty liczydła, które w miarę jak są wyznaczane kolejne cyfry, będą zwalniane do zapisu następnych wyników pomocniczych.
Przykład 6. Pierwiastek kwadratowy z liczby 88 999 999

Nr 09

Nr 10

Nr 11

Nr 12
Rysunki o numerach od 09 do 16 pokazują kolejne fazy pierwiastkowania:
Nr 09. Ustawienie na liczydle liczby pierwiastkowanej 88999999.
Nr 10. Wyznaczenie pierwiastka (9) z pierwszej grupy (88) i odjęcie jego kwadratu (81). Zwykle palcem drugiej ręki zaznaczamy pręt zasięgu dołączanej grupy.
Nr 11. Dołączenie kolejnej grupy przez przesunięcie palca o dwa pręty. Podwojenie dotychczasowej liczby w obszarze pierwiastka i ocena iloczynu (184·4).
Nr 12. Odjęcie iloczynu od liczby utworzonej w zasięgu dołączonych grup.

Nr 13

Nr 14

Nr 15

Nr 16
Nr 13. Dodanie kolejnej grupy dwóch cyfr, podwojenie liczby 4 i ocena czy 6399≥1883·3.
Nr 14. Po odjęciu iloczynu dopisanie ostatniej grupy cyfr (99), podwojenie wcześniej wyznaczonej cyfry pierwiastka (3) i  dobór kolejnej cyfry (podkreślone 3) 75099≥18863·3.
Nr 15. Stan po odjęciu od odjemnej 75099 odjemnika wyznaczonego jako wynik mnożenia. W tym przypadku wystarczy trzykrotnie odjąć liczbę 18863.
Nr 16. Rysunek pokazuje stan po podzieleniu przez dwa liczb uprzednio podwojonych, co daje wynik w postaci pierwiastka równego 9433 i resztę 18510.

W przypadku liczb z częścią ułamkową obliczenia przebiegają tak samo, należy tylko zadbać o właściwe położenie separatora tej części w postaci przecinka lub kropki.

                          __________
                         √88,999999 ≈ 9,433
                          __________
                         √8899,9999 ≈ 94,33
                          __________
                         √889999,99 ≈ 943,3
                          _________
                     ale √8,899999  ≈ 2,983 (reszta 0,001710)

I jeszcze jeden przykład nawiązujący do wyznaczania wartości pierwiastka kwadratowego z liczby 2.

Przykład 7. Pierwiastek kwadratowy z liczby 2,000000

Nr 17

Nr 18

Nr 19

Nr 20
Nr 17. Grot wskazuje miejsce przecinka. Niżej są określone grupy dwucyfrowe 00.
Nr 18. Zaznaczono pierwszą cyfrę pierwiastka i odjęto jej kwadrat (2-12=1).
Nr 19. Dołączono kolejną grupę (00), pierwsza cyfra pierwiastka została podwojona i określono drugą cyfrę (4).
Nr 20. Od liczby 100 odjęto cztery razy liczbę 24 i pozostała reszta 4.

Nr 21

Nr 22

Nr 23

Nr 24
Nr 21. Dołączono kolejną grupę cyfr (00), podwojono drugą cyfrę pierwiastka i określono trzecią cyfrę pierwiastka (1).
Nr 22. Od 400 odjęto jeden raz liczbę 281 i do reszty dołączono ostatnią grupę cyfr (00), a także podwojono trzecią cyfrę pierwiastka (1) i określono czwartą cyfrę pierwiastka (4).
Nr 23. Od liczby 11900 odjęto cztery razy liczbę 2824 i otrzymano różnicę 604, która jest resztą z pierwiastkowania.
Nr 24. Wyznaczono połówki podwojonych wcześniej cyfr i  otrzymano pierwiastek kwadratowy z dwóch równy w przybliżeniu liczbie 1,414 (√2≈1,414).

W czasie poszukiwania kolejnej cyfry pierwiastka może się zdarzyć tak, że rozpatrywana część liczby pierwiastkowanej będzie nawet dziesięciokrotnie większa od mnożnej. Wtedy mnożnik ustawiamy na 9, gdyż do wyniku pierwiastka zawsze można dopisać tylko jedną cyfrę. Pokazuje to następny przykład 8.

Przykład 8. Pierwiastek kwadratowy z liczby 9999

Nr 25

Nr 26

Nr 27

Nr 28
Nr 25. Ustawienie liczby pierwiastkowanej 9999.
Nr 26. Odjęcie kwadratu 99-92=18 i podwojenie pierwszej cyfry pierwiastka.
Nr 27. Dołączenie do różnicy kolejnej grupy cyfr (99) i określenie drugiej cyfry pierwiastka jako 9, mimo iż w liczbie 1899 mnożna 189 mieści się dziesięć razy.
Uwaga:
Podczas odejmowania iloczynu zamiast dziewięć razy odejmować liczbę 189 można w takim przypadku odjąć od razu liczbę 1890 i następnie dodać 189. Dwie operacje zamiast dziewięciu.
Nr 28. Zakończenie wyznaczania pierwiastka kwadratowego wymaga przywrócenia zdwojonych cyfr przez połowienie (tu: 18 ÷ 2 = 9). Otrzymany wynik √(9999) ≈ 99 z resztą 198.






5. BIBLIOGRAFIA

  1. Conway J.H., Guy R. K., Księga liczb, WNT, Warszawa 1999
  2. Stewart I., Oswajanie nieskończoności. Historia matematyki, Prószyński i S-ka, Warszawa 2010
  3. Puran, Zliczanie jedynek - www.purand.pl
  4. Puran, Liczenie na liczydle - www.purand.pl